【ABC151】E - Max-Min Sums

atcoder.jp

※なぜかmathjaxでK-1を下付き文字として表示できないので、この記事ではK=Aとします。
$ X_{i-1} $ は正しく表示されるのに、$ X_{K-1} $ はなぜかうまくいきませんでした。
原因不明です。

解法

数列の要素が答えにどれだけ影響を及ぼすか、という主客転倒の考え方を使います。
それぞれの要素が何回minまたはmaxに選ばれるかがわかれば、答えがわかるからです。

N個の要素の中からA個を選んだ全ての集合が対象なので、数列をソートしても問題ありません。
小さい数ほどminに選ばれやすく、大きい数ほどmaxに選ばれやすいことがわかります。

昇順にソートした状態で、小さい方からi番目の要素がminに選ばれる回数は、
$ {}_{N-i-1} C_{A-1} $ 回になります。

同じように、大きい方からi番目の要素がmaxに選ばれる回数は、
$ {}_{N-i-1} C_{A-1} $ 回になります。

実装

二項係数のmodを求めるライブラリがあると実装が楽です。
下の記事あたりを参考にすると良いです。

drken1215.hatenablog.com

const int MAX = 510000;

long long fac[MAX], finv[MAX], inv[MAX];

void COMinit() {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    finv[0] = finv[1] = 1;
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAX; i++){
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MD;
        inv[i] = MD - inv[MD%i] * (MD / i) % MD;
        finv[i] = finv[i - 1] * inv[i] % MD;
    }
}

long long COM(int n, int k){
    if (n < k) return 0;
    if (n < 0 || k < 0) return 0;
    return fac[n] * (finv[k] * finv[n - k] % MD) % MD;
}

void solve(long long N, long long K, std::vector<long long> A){
    COMinit();
    ALL(sort, A);

    mint ans = 0;
    REP (i, N) {
        // 上から順に (maxになる回数) * A[N-i-1]
        ans += COM(N-(i+1), K-1) * A[N-i-1];
        // 下から順に (minになる回数) * A[i]
        ans -= COM(N-(i+1), K-1) * A[i];
    }

    cout << ans << endl;
}